Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，點E、F分別為棱AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）  AD與平面PCD所成的角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，則FG$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}$CD，AE$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}$CD，因此FG$\underline{\underline{∥}}$AE，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，AF∥平面PCE；
（Ⅱ）PA⊥底面ABCD，可證明CD⊥平面ADP，CD⊥AF，則AF⊥PD，AF⊥平面PCD，∠ADP就是AD與平面PCD所成的角，PA=AD，∠PDA=45°．

解答 解：（Ⅰ）證明：取PC的中點G，連結FG、EG，
∴FG為△CDP的中位線，
∴FG$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}$CD，…2分
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，
∴AE$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}$CD，…3分
∴FG$\underline{\underline{∥}}$AE，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，…4分
∴AF∥EG又EG?平面PCE，
AF?平面PCE，
∴AF∥平面PCE；  …6分
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面ADP …7分
又AF?平面ADP，
∴CD⊥AF …8分
在直角三角形PAD中，PA=AD且F是PD的中點，
∴AF⊥PD，…9分
又CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD．…10分
∴∠ADP就是AD與平面PCD所成的角．…12分
在直角三角形PAD中，PA=AD，
∴∠PDA=45°…13分
∴AD與平面PCD所成的角是45°．…

點評 本題考查線面位置關系，直線與平面所成的角的大小，考查空間想象能力，轉化思想，計算能力，屬于中檔題．