Question

12．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小值為-3，且f（x）圖象相鄰的最高點與最低點的橫坐標之差為2π，又f（x）的圖象經過點$（0，\frac{3}{2}）$；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）-k=0在$x∈[0，\frac{11π}{3}]$有且僅有兩個零點x₁，x₂，求k的取值范圍，并求出x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A和周期T，由周期公式求出ω的值，將點（0，$\frac{3}{2}$）代入化簡后，由φ的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將方程的根轉化為函數(shù)圖象交點問題，由x的范圍求出$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的性質求出f（x）的值域，設設t=$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$，函數(shù)畫出y=3sint，由正弦函數(shù)的圖象畫出y=3sint的圖象，由圖象和條件求出k的范圍，由圖和正弦函數(shù)的對稱性分別求出x₁+x₂的值．

解答 解：（1）由題意得：$A=3，\frac{T}{2}=2π$，
則T=4π，即$ω=\frac{2π}{T}=\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+φ）$，
又f（x）的圖象經過點$（0，\frac{3}{2}）$，則$\frac{3}{2}=3sinφ$，
由$|φ|＜\frac{π}{2}$得$φ=\frac{π}{6}$，
所以$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$；
（2）由題意得，f（x）-k=0在$x∈[0，\frac{11π}{3}]$有且僅有兩個解x₁，x₂，
即函數(shù)y=f（x）與y=k在$x∈[0，\frac{11π}{3}]$且僅有兩個交點，
由$x∈[0，\frac{11π}{3}]$得，$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，2π]$，
則$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）∈[-3，3]$，
設t=$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$，則函數(shù)為y=3sint，且$t∈[\frac{π}{6}，2π]$，
畫出函數(shù)y=3sint在$t∈[\frac{π}{6}，2π]$上的圖象，如圖所示：
由圖可知，k的取值范圍為：$k∈（-3，0]∪[\frac{3}{2}，3）$，
當k∈（-3，0]時，由圖可知t₁，t₂關于t=$\frac{3π}{2}$對稱，
即$x=\frac{8}{3}π$對稱，所以${x_1}+{x_2}=\frac{16π}{3}$，
當$k∈[\frac{3}{2}，3）$時，由圖可知t₁，t₂關于t=$\frac{π}{2}$對稱，
即$x=\frac{2}{3}π$對稱，所以${x_1}+{x_2}=\frac{4π}{3}$，
綜上可得，x₁+x₂的值是$\frac{16π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．

點評 本題考查了形如f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式的確定，正弦函數(shù)的性質與圖象，以及方程根轉化為函數(shù)圖象的交點問題，考查分類討論思想，數(shù)形結合思想，以及化簡、變形能力．