Question

點(diǎn)B₁，B₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短軸端點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為F，△B₁B₂F為等邊三角形，點(diǎn)F到橢圓右準(zhǔn)線l的距離為1．
（1）求橢圓方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)O、F且與右準(zhǔn)線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）可得OF=c，OB₂=b，B₂F=a，可得離心率和準(zhǔn)線方程，解方程組可得ab的值，可得方程；
（2）可得右準(zhǔn)線方程為x=4，由題意可設(shè)圓心D(

3

2

，  m)，半徑為

5

2

，可得圓的方程，代入點(diǎn)O（0，0）可的m的方程，解之可得答案．

解答：解：（1）因?yàn)椤鰾₁B₂F為正三角形，OF=c，OB₂=b，B₂F=a，
所以e=

c

a

=

OF

FB2

=cos30°=

3

2

．…（3分）
準(zhǔn)線l的方程：x=

a2

c

，
所以

c a = 3 2 ，   a2 c -c=1

解之得

a=2 3 c=3，

…（6分）
于是b=

3

．
故橢圓方程為

x2

12

+

y2

3

=1．…（7分）
（2）設(shè)所求圓的圓心為D，由（1）知橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=4，…（8分）
因?yàn)閳AD過點(diǎn)O，F(xiàn)，且與直線x=4相切，
所以可設(shè)圓心D(

3

2

，  m)，半徑為

5

2

，
于是圓D的方程為(x-

3

2

)2+(y-m)2=

25

4

，…（11分）
因?yàn)辄c(diǎn)O（0，0）在圓D上，
所以

9

4

+m2=

25

4

，解得m=2或m=-2，
所求圓的方程為(x-

3

2

)2+(y-2)2=

25

4

或(x-

3

2

)2+(y+2)2=

25

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及橢圓離心率的求解及直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．