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3.已知a>0,b>0且a+b=1.
(Ⅰ)求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值;
(Ⅱ)若$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范圍.

分析 (Ⅰ)根據基本不等式的性質,利用1的代換求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9;
(Ⅱ)根據不等式恒成立,結合分類討論進行求解即可.

解答 解:(Ⅰ)∵a>0,b>0 且a+b=1,
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=(a+b)($\frac{1}{a}$+$\frac{4}$)=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥9,
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9,(5分)
(Ⅱ)∵對 于a,b∈(0,+∞),使$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2x-1|-|x+1|恒成立,
∴|2x-1|-|x+1|≤9,(7分)
若x≥$\frac{1}{2}$,則不等式等價為2x-1-x-1≤9,解得:x≤11,
∴$\frac{1}{2}$≤x≤11;
若-1<x<$\frac{1}{2}$,則不等式等價為-2x+1-x-1≤9,解得:x≤3,
∴-1<x<$\frac{1}{2}$,
若x≤-1,則不等式等價為-2x+1+x+1≤9,解得:x≥-7,
∴-7≤x≤-1
綜上-7≤x≤11.                                   (10分)

點評 本題主要考查不等式恒成立問題,利用基本不等式,結合絕對值不等式的解法是解決本題的關鍵.注意要進行分類討論.

練習冊系列答案
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