Question

15．如圖，已知正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且$\frac{PM}{PA}$=$\frac{BN}{BD}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求異面直線MN與PC所成角的大��；
（2）求二面角N-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=PA=2．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{OP}$方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用向量法能求出異面直線MN與PC所成角．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N-PC-B的余弦值．

解答 解：（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=PA=2．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{OP}$方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），D（-1，-1，0），…（2分）
設(shè)P（0，0，p），則$\overrightarrow{AP}$=（-1，1，p），又AP=2，
∴1+1+p²=4，∴p=$\sqrt{2}$，
∵$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}$=（$\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，0$），
∴$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MN}$=（0，$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
設(shè)異面直線MN與PC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}{2\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{8}{9}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
θ=30°，
∴異面直線MN與PC所成角為30°．
（2）$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$，-$\sqrt{2}$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
設(shè)平面PNC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PN}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b-\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-a+b-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，1），
設(shè)二面角N-PC-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5}{\sqrt{3}•\sqrt{11}}$=$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．
∴二面角N-PC-B的余弦值為$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．