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12.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)滿足AC=2CB,已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx),x∈[0,\frac{π}{2}],f(x)=\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OC}-(2m+\frac{2}{3})|\overrightarrow{AB}|.
(Ⅰ)求|\overrightarrow{OC}|的范圍;
(Ⅱ)若f(x)的最小值為-\frac{3}{2},求實(shí)數(shù)m的值.

分析 (1)設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo),利用\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB},求出點(diǎn)C的坐標(biāo),再求模長|\overrightarrow{OC}|的取值范圍;
(Ⅱ)求出f(x)的解析式,討論m的取值范圍,求出對應(yīng)f(x)取得最小值時(shí)m的值即可.

解答 解:(1)設(shè)點(diǎn)C(a,b),
∵A(1,cosx),B(1+cosx,cosx),
\overrightarrow{AC}=(a-1,b-cosx),
\overrightarrow{CB}=(1+cosx-a,cosx-b);
\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}
\left\{\begin{array}{l}{a-1=2(1+cosx-a)}\\{b-cosx=2(cosx-b)}\end{array}\right.,
解得\left\{\begin{array}{l}{a=1+\frac{2}{3}cosx}\\{b=cosx}\end{array}\right.
\overrightarrow{OC}=(1+\frac{2}{3}cosx,cosx);
{\overrightarrow{OC}}^{2}={(1+\frac{2}{3}cosx)}^{2}+cos2x
=\frac{13}{9}cos2x+\frac{4}{3}cosx+1
=\frac{13}{9}(cos2x+\frac{12}{13}cosx+\frac{36}{169})-\frac{4}{13}+1
=\frac{13}{9}{(cosx+\frac{6}{13})}^{2}+\frac{9}{13};
又x∈[0,\frac{π}{2}],∴cosx∈[0,1],
∴當(dāng)cosx=0時(shí),{\overrightarrow{OC}}^{2}取得最小值1,
cosx=1時(shí),{\overrightarrow{OC}}^{2}取得最大值\frac{34}{9}
∴1≤|\overrightarrow{OC}|≤\frac{\sqrt{34}}{3};
(Ⅱ)∵x∈[0,\frac{π}{2}],
∴f(x)=\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OC}-(2m+\frac{2}{3})|\overrightarrow{AB}|
=(1+\frac{2}{3}cosx)+cos2x-(2m+\frac{2}{3}\sqrt{{(1+cosx-1)}^{2}{+(cosx-cosx)}^{2}}
=(1+\frac{2}{3}cosx)+cos2x-(2m+\frac{2}{3})cosx
=cos2x-2mcosx+1;
又f(x)的最小值為-\frac{3}{2},cosx∈[0,1],
∴當(dāng)0≤m≤1時(shí),cosx=m,f(x)取得最小值m2-2m2+1=-\frac{3}{2},解得m=\frac{\sqrt{10}}{2}不合題意,舍去;
當(dāng)m>1時(shí),cosx=1,f(x)取得最小值1-2m+1=-\frac{3}{2},解得m=\frac{7}{2}
當(dāng)m<0時(shí),cosx=0,f(x)取得最小值1≠-\frac{3}{2},不合題意,舍去;
綜上,實(shí)數(shù)m的值為\frac{7}{2}

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的求值問題,也考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用問題,考查了分類討論思想的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習(xí)冊系列答案
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