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19.已知不等式組為{y0yxy2x,問:
(Ⅰ)點(x,y)滿足不等式,求:
(1)z=3x+2y的最大值;
(2)z=|4x+3y+1|的最大值;
(3)z=(x+1)2+(y+1)2的最大值;
(4)z=2y3x+9的最大值;
(5)z=x2y2xy的最小值;
(6)z=x-y+|x+2y+3|的最大值.
(Ⅱ)點(a+b,a-b)滿足不等式,求2a+b的最大值.

分析 (Ⅰ)先畫出約束條件{y0yxy2x的可行域,再求出可行域中各角點的坐標,
(1)求出x+2y的最大值,然后求解z=3x+2y的最大值;
(2)利用|4x+3y+1|的幾何意義,求解目標函數(shù)的最大值;
(3)利用(x+1)2+(y+1)2的幾何意義求解最大值;
(4)z=2y3x+9的幾何意義求解表達式的最大值;
(5)化簡z=x2y2xy的形式,通過直線的斜率求解表達式的最小值;
(6)化簡z=x-y+|x+2y+3|的形式,利用幾何意義求解最大值.
(Ⅱ)點(a+b,a-b)滿足不等式,點的可行域,然后求2a+b的最大值.

解答 解:(Ⅰ)
(1)約束條件不等式組{y0yxy2x的可行域如下圖示:

A(1,1);B(2,0),O(0,0)
由圖易得目標函數(shù)z=3x+2y的最大值在A(1,1)處取得,z=3x+2y的最大值為:31+2=27.
(2)z=|4x+3y+1|的最大值,就是可行域內(nèi)的點到直線4x+3y+1=0距離的5倍,

由圖形可知B到直線4x+3y+1=0距離最大,
此時Z=|4x+3y+1|=9.
(3)z=(x+1)2+(y+1)2的幾何意義是:可行域內(nèi)的點與(-1,-1)距離的平方,易知B到(-1,-1)的距離最大,此時:Z=(2+1)2+(0+1)2=10.
(4)z=2y3x+9=23yx+3的幾何意義是可行域內(nèi)的點與(-3,0)連線的斜率的23倍,
由圖形可知,A與(-3,0)連線的斜率最大,可得:z=23+9=16;
(5)z=x2y2xy=xy-yx,yx表示可行域的點與原點連線的斜率,yx∈[0,1],-yx∈[-1,0],xy∈[1,+∞),
z=x2y2xy∈[0,+∞).z=x2y2xy的最小值的最小值為:0;
(6)z=x-y+|x+2y+3|=2x+y+3,平移直線2x+y+3=t,
當直線經(jīng)過可行域的B點時,z取得最大值2×2+0+3=7.
(Ⅱ)點(a+b,a-b)滿足不等式,可得:{0a+b20ab2,
不等式組:{0a+b20ab2,的可行域為:

z=2a+b經(jīng)過可行域的A點時,z取得最大值為:2×2+2=6.

點評 在解決線性規(guī)劃的小題時,我們常用“角點法”,其步驟為:①由約束條件畫出可行域⇒②求出可行域各個角點的坐標⇒③將坐標逐一代入目標函數(shù)⇒④驗證,求出最優(yōu)解.利用表達式的幾何意義求解表達式的最值是解題的關(guān)鍵.

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