Question

求滿足下列條件的直線方程：
（1）經(jīng)過點(diǎn)P（2，-1）且與直線2x+3y+12=0平行；
（2）經(jīng)過點(diǎn)Q（-1，3）且與直線x+2y-1=0垂直；
（3）經(jīng)過點(diǎn)M（1，2）且與點(diǎn)A（2，3）、B（4，-5）距離相等；
（4）經(jīng)過點(diǎn)N（-1，3）且在x軸的截距與它在y軸上的截距的和為零．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式,直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)與直線2x+3y+12=0平行的直線方程為2x+3y+c=0，把點(diǎn)P（2，-1）代入，能求出直線方程．
（2）設(shè)與直線x+2y-1=0垂直的直線方程為2x-y+c₁=0，把點(diǎn)Q（-1，3）代入，能求出直線方程．
（3）當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，不成立，當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí)，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M（1，2）的直線為kx-y-k+2=0，由已知得

|2k-3-k+2|

k2+1

=

|4k+5-k+2|

k2+1

，由此能求出直線方程．
（4）當(dāng)橫截距a=0時(shí)，縱截距b=0，此時(shí)直線方程過點(diǎn)（0，0），（-1，3）；當(dāng)橫截距a≠0時(shí)，縱截距b=-a，此時(shí)直線方程為

x

a

-

y

a

=1．由此能求出直線方程．

解答： 解：（1）設(shè)與直線2x+3y+12=0平行的直線方程為2x+3y+c=0，
把點(diǎn)P（2，-1）代入，得：
4-3+c=0，得c=-1，
∴所求直線方程為：2x+3y-1=0．
（2）設(shè)與直線x+2y-1=0垂直的直線方程為2x-y+c₁=0，
把點(diǎn)Q（-1，3）代入，得-2-3+c₁=0，解得c₁=5，
∴所求直線方程為：2x-y+5=0．
（3）當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，不成立，
當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M（1，2）的直線為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∵所求直線與點(diǎn)A（2，3）、B（4，-5）距離相等，
∴

|2k-3-k+2|

k2+1

=

|4k+5-k+2|

k2+1

，
解得k=-4或k=-

3

2

，
故所求直線方程為4x+y-6=0或3x+2y-7=0．
（4）當(dāng)橫截距a=0時(shí)，縱截距b=0，
此時(shí)直線方程過點(diǎn)（0，0），（-1，3），
∴直線方程為

y

x

=

3

-1

，整理，得3x+y=0．
當(dāng)橫截距a≠0時(shí)，縱截距b=-a，
此時(shí)直線方程為

x

a

-

y

a

=1，
把N（-1，3）代入得

-1

a

-

3

a

=1，
解得a=-4，
∴直線方程為

x

-4

+

y

4

=0，整理，得x-y+4=0，
故所求直線方程為：3x+y=0或x-y+4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線間的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．