【題目】已知函數(shù)f(x)=xex-alnx(無理數(shù)e=2.718…).
(1)若f(x)在(0,1)單調遞減,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當a=-1時,設g(x)=x(f(x)-xex)-x3+x2-b,若函數(shù)g(x)存在零點,求實數(shù)b的最大值.
【答案】(1)a≥2e;(2)0
【解析】
(1)由題得≤0,即a≥(x2+x)ex在(0,1)上恒成立,再構造函數(shù)求函數(shù)的最大值即得解;(2)問題等價于方程b=xlnx-x3+x2在(0,+∞)上有解,先證lnx≤x-1(x>0),再求得b的最大值為0.
(1),
由題意:≤0,x∈(0,1)恒成立,即(x2+x)ex-a≤0,
也就是a≥(x2+x)ex在(0,1)上恒成立,
設h(x)=(x2+x)ex,
則=ex(2x+1)+(x2+x)ex=ex(x2+3x+1),
當x∈(0,1)時,x2+3x+1>0,
故)>0,h(x)在(0,1)單調遞增,h(x)<h(1)=2e,
因此a≥2e.
(2)當a=-1時,f(x)=xex+lnx,g(x)=xlnx-x3+x2-b,
由題意:問題等價于方程b=xlnx-x3+x2在(0,+∞)上有解,
先證:lnx≤x-1(x>0),事實上:設y=lnx-x+1,則,
令,x=1,x∈(0,1)時,y'>0函數(shù)遞增,x∈(1,+∞)時,y'<0函數(shù)遞減,
ymax=y(tǒng)|x=1=0,即y≤0,也就是lnx≤x-1.
由此:k(x)=xlnx-x3+x2≤x(x-1)-x3+x2=2x2-x-x3=-x(x2-2x+1)≤0,
故當x=1時,k(1)=0,所以b的最大值為0.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD=2,∠DAB=60°,PA=PC=2,且平面ACP⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:CB⊥PD;
(Ⅱ)求二面角C-PB-A的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)兩個共軛復數(shù)的差是純虛數(shù);(2)兩個共軛復數(shù)的和不一定是實數(shù);(3)若復數(shù)是某一元二次方程的根,則是也一定是這個方程的根;(4)若為虛數(shù),則的平方根為虛數(shù),其中正確的個數(shù)為 ( )
A.3B.2C.1D.0
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知點P的直角坐標為,點M的極坐標為,若直線l過點P,且傾斜角為,圓C以M為圓心,1為半徑.
(1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程.
(2)設直線l與圓C相交于AB兩點,求.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐M-ABCD中,MB⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,AB=MB,E、F分別為MA、MC的中點.
(1)求證:平面BEF⊥平面MAD;
(2)若,求三棱錐E-ABF的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐C的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,點E、F分別為棱AB、PD的中點.
(1)求證:AF∥平面PEC
(2)求證:平面PCD⊥平面PEC;
(3)求三棱錐C-BEP的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設直線與軌跡c交于兩點,T為C上異于的任意一點,直線,分別與直線交于兩點,以為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標;若不過定點,請說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com