Question

8．正△ABC兩邊AB，AC的中點分別為M，N，直線MN與△ABC外接圓的一個交點為P．
①若正△ABC的邊長為a，求△PBC的面積；
②求$\frac{PB}{PC}$+$\frac{PC}{PB}$的值．

Answer 1

分析 ①設點P到BC的距離為h，則h=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$，即可△PBC的面積S．
②利用三角形面積計算公式可得：S_△PBC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$BC²=$\frac{1}{2}$PB•PC•sin60°，再利用余弦定理可得：BC²=PB²+PC²-2PB•PCcos60°，聯(lián)立化簡整理即可得出．

解答 解：①設點P到BC的距離為h，則h=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．
∴△PBC的面積S=$\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{4}$a=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$．
②S_△PBC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$BC²=$\frac{1}{2}$PB•PC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PB•PC，∴BC²=2PB•PC，
又BC²=PB²+PC²-2PB•PCcos60°=PB²+PC²-PB•PC，
∴2PB•PC=PB²+PC²-PB•PC，
∴PB²+PC²=3PB•PC，
∴$\frac{PB}{PC}$+$\frac{PC}{PB}$=3．

點評 本題考查了圓的性質、三角形面積計算公式、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．