Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍k＜0或0＜k＜1．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則$\frac{|x|}{x+2}$-kx²=0 ①有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．再分（1）當(dāng)x=0時(shí)、（2）x≠0時(shí)2種情況，分別求出方程的根，綜合可得方程①有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有兩個(gè)零點(diǎn)，
則$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²=0 ①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，不論k取何值，方程①恒成立，即x=0恒為方程①的一個(gè)實(shí)數(shù)解．
（2）故只需x≠0，函數(shù)f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有1個(gè)零點(diǎn)
?$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²=0 有1個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
?$\frac{1}{x+2}$=k|x|有1個(gè)異根，
?函數(shù)y=$\frac{1}{x+2}$與y=k|x|有1個(gè)交點(diǎn)，
如圖示：
，
k＞0時(shí)，由$\frac{1}{x+2}$=-kx得：kx²+2kx+1=0，
△=4k²-4k=0，解得：k=1，
結(jié)合圖象，k＜0或0＜k＜1，
故答案為：k＜0或0＜k＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．