Question

20．如圖：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線E的標準方程；
（2）過B點且傾斜角為120°的直線l交曲線E于M，N兩點，求|MN|的長度．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2$\sqrt{2}$，動點的軌跡是以為A，B焦點橢圓，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，2c=2，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的方程；
（2）直線l得方程為y=-$\sqrt{3}$（x-1），代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得|MN|的長度．

解答 解：（1）以AB、OD所在的直線分別為x軸、y軸，O為原點建立直角坐標系…．（1分）
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$+$\sqrt{{2^2}+{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}$=2$\sqrt{2}$，
動點的軌跡是以為A，B焦點橢圓…．（4分）
設(shè)其長、短半軸的長分別為a、b，半焦距為c，則a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
∴曲線E的方程為：$\frac{x^2}{2}$+y²=1．…（6分）
（2）直線l得方程為y=-$\sqrt{3}$（x-1）且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）…．（7分）
由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}（x-1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得方程7x²-12x+4=0
x₁+x₂=$\frac{12}{7}$，x₁•x₂=$\frac{4}{7}$ …（9分）
$|MN|=\sqrt{1+{{（-\sqrt{3}）}^2}}|{x_1}-{x_2}|$=$2\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$2\sqrt{{{（\frac{12}{7}）}^2}-4×\frac{4}{7}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$，
故$|{MN}|=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$…..（12分）

點評 本題考查橢圓的定義及標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理及弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．