Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=

1

an•an+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（3）討論（2）中T_n的最值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式an=

s1 n=1 sn-sn-1 n≥2

可求出數(shù)列{a_n}的通項a_n．
（2）n≥2時，c_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項相消法求和；
（3）利用（2）的結論，即可得出T_n的最值．

解答： 解：（1）∵S_n=n²+1
∴a₁=S₁=1+1=2，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+1）-[（n-1）²+1]=2n-1，
當n=1時，2n-1=1≠a₁，
∴an=

2 n=1 2n-1 n≥2

．
（2）n≥2時，c_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴當n=1時，T_n=c₁=

1

a1a2

=

1

2×3

=

1

6

，
當n≥2時，T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

6

+

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

6

+

1

2

（

1

3

-

1

2n+1

）=

1

3

-

1

4n+2

，
∴T_n=

1 6 n=1 1 3 - 1 4n+2 n≥2

．
（3）由（2）T_n的最小值為

1

6

，無最大值．

點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，考查利用公式法求數(shù)列的通項公式及利用裂項相消法求數(shù)列的和知識，解題時要注意公式的靈活運用．