Question

8．已知圓C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1-\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）和直線$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（其中t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角）．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）如果直線l與圓C有公共點(diǎn)，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式消去參數(shù)θ，即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）消去參數(shù)t得到直線方程．求出圓的圓心與半徑，利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，列出不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）圓C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1-\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），消去θ可得：（x-1）²+（y-1）²=2，
即x²+y²-2x-2y=0，ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0．
所以$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時，直線與圓沒有公共點(diǎn)
當(dāng)$α≠\frac{π}{2}$時，直線方程為y-1=tanα（x+1）即tanα•x-y+（tanα+1）=0
當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時，$\frac{|2tanα|}{{\sqrt{{{tan}^2}α+1}}}≤\sqrt{2}$，解得-1≤tanα≤1
∵α∈[0，π），∴α的取值范圍是$[0，\frac{π}{4}]∪[\frac{3π}{4}，π）$．     …（10分）

點(diǎn)評 本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，普通方程與極坐標(biāo)方程的互化，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．