已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求與的值.

（Ⅱ）若曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值范圍.

 

【答案】

（Ⅰ）求兩個參數(shù)，需要建立兩個方程。切點在切線上建立一個，利用導數(shù)的幾何意義建立另一個，聯(lián)立求解。（Ⅱ）利用導數(shù)分析曲線的走勢，數(shù)形結合求解。

【解析】因為，所以.

（Ⅰ）因為曲線在點處與直線相切，

所以，，

解得.

（Ⅱ）由，得.

和的情況如下：

0

-

0

+

1

所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間單調遞增，是函數(shù)的最小值.

當時，曲線與直線最多只有一個交點.

當時，，，

所以，存在，使得.

由于函數(shù)在區(qū)間和均單調，所以時，曲線與直線有且僅有兩個交點.

【考點定位】本題考查導數(shù)的計算、切線方程、導數(shù)的應用，故考查了運算求解能力.討論直線和曲線的交點個數(shù)，故考查了分類討論思想的應用.

 

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已知函數(shù)f(x)=log
13
x，若f（a3）+f（b3）=6，則f（ab）的值等于
2
2
．

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設函數(shù)f（x）、g（x）的定義域分別為M，N，且M⊆N，若對任意的x∈M，都有g（x）=f（x），則稱g（x）是f（x）的“拓展函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=
1
3
log2x，若g（x）是f（x）的“拓展函數(shù)”，且g（x）是偶函數(shù)，則符合條件的一個g（x）的解析式是
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合條件的函數(shù)也可）
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合條件的函數(shù)也可）
．

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已知函數(shù)，

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（本小題滿分16分）

已知函數(shù)，

（1）若在上的最大值為，求實數(shù)的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

 

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