已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的奇偶性;
(2)若函數(shù)在上為減函數(shù),求的取值范圍.
(1)當(dāng)時(shí),是奇函數(shù);當(dāng)時(shí),是偶函數(shù);當(dāng)時(shí),是非奇非偶函數(shù),(2).
解析試題分析:(1)研究函數(shù)奇偶性,首先研究定義域,,在定義域前提下,研究相等或相反關(guān)系. 若,則,,,若,,,,(2)利用函數(shù)單調(diào)性定義研究函數(shù)單調(diào)性. 因函數(shù)在上為減函數(shù),故對(duì)任意的,都有,即恒成立,恒成立,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a2/7/tjhba3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.
解:(1) (1分)
若為偶函數(shù),則對(duì)任意的,都有,
即,,對(duì)任意的都成立。由于不恒等于0,故有,即 ∴當(dāng)時(shí),是偶函數(shù)。 (4分)
若為奇函數(shù),則對(duì)任意的,都有,
即,對(duì)任意的都成立。由于不恒等于0,故有,即∴當(dāng)時(shí),是奇函數(shù)。(6分)
∴當(dāng)時(shí),是奇函數(shù);當(dāng)時(shí),是偶函數(shù);當(dāng)時(shí),是非奇非偶函數(shù)。 (7分)
(2)因函數(shù)在上為減函數(shù),故對(duì)任意的,都有, (2分)
即恒成立。(4分)
由,知恒成立,即恒成立。
由于當(dāng)時(shí) (6分)
∴ (7分)
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性與單調(diào)性
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
函數(shù).
(1)若在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;
(2)若,若函數(shù)在 [1,3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2f/f/l7nax2.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)是奇函數(shù),
(1)求的值;
( 2) 判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.
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已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。
(2)若函數(shù)在[1,4]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e1/c/leg7h1.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
(1) 對(duì)任意的,總有;(2);(3) 若,,且,則有成立,則稱為“友誼函數(shù)”,請(qǐng)解答下列各題:
(1)若已知為“友誼函數(shù)”,求的值;
(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.
(3)已知為“友誼函數(shù)”,假定存在,使得且, 求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中.
(1)若,求函數(shù)的定義域和極值;
(2)當(dāng)時(shí),試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.
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如果函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)于定義域內(nèi)的任意,存在實(shí)數(shù)使得成立,則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”。
(1)判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”,若具有“性質(zhì)”,求出所有的值;若不具有“性質(zhì)”,說明理由;
(2)已知具有“性質(zhì)”,且當(dāng)時(shí),求在上有最大值;
(3)設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”,且當(dāng)時(shí),.若與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2013,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義:對(duì)于函數(shù),若存在非零常數(shù),使函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,則稱函數(shù)是廣義周期函數(shù),其中稱為函數(shù)的廣義周期,稱為周距.
(1)證明函數(shù)是以2為廣義周期的廣義周期函數(shù),并求出它的相應(yīng)周距的值;
(2)試求一個(gè)函數(shù),使(為常數(shù),)為廣義周期函數(shù),并求出它的一個(gè)廣義周期和周距;
(3)設(shè)函數(shù)是周期的周期函數(shù),當(dāng)函數(shù)在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/00/1/aujvk.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí),求在上的最大值和最小值.
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