Question

1．已知△ABC的外接圓為⊙O，∠B的平分線交圓O于D，過D作圓O的切線DE與BC的延長線交于E，連接AD，CD，過E再作圓的割線交圓O于F，H．
（1）求證：∠DEB=∠ADB；
（2）若△ABC為邊長為2的等邊三角形，且HF=FE，試求HF的長．

Answer 1

分析 （1）利用圓的切線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，即可證明：∠DEB=∠ADB；
（2）若△ABC為邊長為2的等邊三角形，求出BD，DE，由切割線的定理可得DE²=EH•EF求HF的長．

解答 證明：（1）由BD平分∠B可得∠ABD=∠DBC，
由DE為切線，可知∠DBC=∠CDE，∠DCA=∠ABD，
∴∠ACD=∠EDC，
∴AC∥DE，∠DEC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠DEB=∠ADB．------------------（5分）
解：（2）當△ABC為等邊三角形，可知∠B=60°，∠DBC=30°，
BD為圓O的直徑，DC⊥BC，$BD=\frac{BC}{cos30°}=\frac{2}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
在Rt△BDE中，$DE=BDtan∠DBE=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{4}{3}$，
由切割線的定理可得DE²=EH•EF，
∴${（\frac{4}{3}）^2}=2HF•HF$，
∴$HF=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．----（10分）

點評 本題考查了弦切角、圓周角與弧的關系，還考查了切割線的定理，本題總體難度不大，屬于中檔題．