Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AB⊥平面BEF：
（Ⅱ）設(shè)PA=h，若二面角E-BD-C大于45°，求h的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證AB⊥平面BEF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB與平面BEF內(nèi)兩相交直線垂直，而AB⊥BF．根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知AB⊥EF，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB、AD、AP為OX、OY、OZ正向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夾角公式建立關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且∠DAB為直角，
故ABFD是矩形，從而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因?yàn)锳B⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點(diǎn)，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF． （6分）
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB、AD、AP為OX、OY、OZ正向建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)．
∴AB的長為1，則$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1$\frac{k}{2}$）
設(shè)平面CDB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），平面EDB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{y+\frac{hz}{2}=0}\end{array}\right.$，取y=1，可得$\overrightarrow{n}$=（2，1，-$\frac{2}{h}$），
設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|═$\frac{\frac{2}{h}}{\sqrt{{2}^{2}+1+\frac{4}{{h}^{2}}}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化簡得h${\;}^{2}＞\frac{4}{5}$，則h＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力．建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．