【題目】下圖是一塊平行四邊形園地,經(jīng)測(cè)量,.擬過線段上一點(diǎn) 設(shè)計(jì)一條直路(點(diǎn)在四邊形的邊上,不計(jì)直路的寬度),將該園地分為面積之比為的左,右兩部分分別種植不同花卉.設(shè)(單位:m).
(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),試確定點(diǎn)的位置;
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(3)試確定點(diǎn)的位置,使直路的長(zhǎng)度最短.
【答案】(1)是的中點(diǎn);(2);(3) 當(dāng),時(shí),最短,其長(zhǎng)度為.
【解析】
(1)由可知,從而證明是的中點(diǎn).
(2)求出平行四邊形的面積為,進(jìn)而可求,從而用 可將表示出來,利用余弦定理即可得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng) ,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值;當(dāng)時(shí),由基本不等式可求最值.
解:(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),由題設(shè)知,.
于是,其中為平行四邊形邊上的高.
得,即點(diǎn)是的中點(diǎn).
(2)因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以.當(dāng)時(shí),由(1)知
點(diǎn)在線段上.因?yàn)?/span>
所以.
由得,.所以中,由余弦定理得
.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)在線段上,由
得.當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
化簡(jiǎn)均為.
綜上,.
(3)當(dāng)時(shí),,
于是當(dāng)時(shí),,此時(shí).
當(dāng)時(shí),
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào)
綜上: 當(dāng)距點(diǎn),距點(diǎn)時(shí),最短,其長(zhǎng)度為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)、分別是橢圓的上、下頂點(diǎn),以為直徑作圓,直線與橢圓交于、兩點(diǎn),與圓交于、兩點(diǎn).
(1)若直線的傾斜角為,求(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積;
(2)若點(diǎn)、分別在直線、上,且,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】生男生女都一樣,女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想,頭胎的男女情況可能會(huì)影響生二孩的意愿,現(xiàn)隨機(jī)抽取某地200戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).這200戶家庭中,頭胎為女孩的頻率為0.5,生二孩的頻率為0.525,其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.
(1)完成下列列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān);
生二孩 | 不生二孩 | 合計(jì) | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計(jì) | 200 |
(2)在抽取的200戶家庭的樣本中,按照分層抽樣的方法在頭胎生女孩家庭中抽取了5戶,進(jìn)一步了解情況,在抽取的5戶中再隨機(jī)抽取3戶,求這3戶中恰好有2戶生二孩的概率.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=45°,AD=AP=2,AB=DP=,E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段PB上.試確定點(diǎn)F的位置,使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AB//CD,∠BAD=60°,CD=1,AD=2,AB=4,點(diǎn)G在線段AB上,AG=3GB,AA1=1
(1)證明:D1G/平面BB1C1C,
(2)求二面角A1-D1G-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一種叫“對(duì)對(duì)碰”的游戲,游戲規(guī)則如下:一輪比賽中,甲乙兩人依次輪流拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,甲先拋,每人拋3次,得分規(guī)則如下:甲第一次拋得分,再由乙第一次拋,若出現(xiàn)朝上的情況與甲第一次拋的朝上的情況一樣,則本次得2分,否則得1分;再甲第二次拋,若出現(xiàn)朝上的情況與乙第一次拋的朝上的情況一樣,則本次得分是乙第一次得分的基礎(chǔ)上加1分,否則得1分;再乙第二次拋,若出現(xiàn)朝上的情況與甲第二次拋的朝上的情況一樣,則本次得分是甲第二次得分的基礎(chǔ)上加1分,否則得1分;按此規(guī)則,直到游戲結(jié)束.記甲乙累計(jì)得分分別為.
(1)一輪游戲后,求的概率;
(2)一輪游戲后,經(jīng)計(jì)算得乙的數(shù)學(xué)期望,要使得甲的數(shù)學(xué)期望,求的最小值.
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【題目】某汽車公司生產(chǎn)新能源汽車,2019年3-9月份銷售量(單位:萬輛)數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
銷售量 (萬輛) | 3.008 | 2.401 | 2.189 | 2.656 | 1.665 | 1.672 | 1.368 |
(1)某企業(yè)響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,購(gòu)買了6輛該公司生產(chǎn)的新能源汽車,其中四月份生產(chǎn)的4輛,五月份生產(chǎn)的2輛,6輛汽車隨機(jī)地分配給A,B兩個(gè)部門使用,其中A部門用車4輛,B部門用車2輛.現(xiàn)了解該汽車公司今年四月份生產(chǎn)的所有新能源汽車均存在安全隱患,需要召回.求該企業(yè)B部門2輛車中至多有1輛車被召回的概率;
(2)經(jīng)分析可知,上述數(shù)據(jù)近似分布在一條直線附近.設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為,根據(jù)表中數(shù)據(jù)可計(jì)算出,試求出的值,并估計(jì)該廠10月份的銷售量.
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【題目】蔬菜批發(fā)市場(chǎng)銷售某種蔬菜,在一個(gè)銷售周期內(nèi),每售出1噸該蔬菜獲利500元,未售出的蔬菜低價(jià)處理,每噸虧損100元.統(tǒng)計(jì)該蔬菜以往100個(gè)銷售周期的市場(chǎng)需求量,繪制下圖所示頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求的值,并求100個(gè)銷售周期的平均市場(chǎng)需求量(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的數(shù)值);
(Ⅱ)若經(jīng)銷商在下個(gè)銷售周期購(gòu)進(jìn)了190噸該蔬菜,設(shè)為該銷售周期的利潤(rùn)(單位:元),為該銷售周期的市場(chǎng)需求量(單位:噸).求與的函數(shù)解析式,并估計(jì)銷售的利潤(rùn)不少于86000元的概率.
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