【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（Ⅲ）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作——證——求”的思路完成，作二面角是常常利用直線和平面垂直.第（Ⅲ）題，求解有難度，可以空間向量完成.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>為正方形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C ，

所以⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ⊥AC, ⊥AB.

由題意知，所以.

如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則.

設(shè)平面的法向量為，則即

令，則，所以.

同理可得，平面的法向量為.

所以.

由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)是直線上的一點(diǎn)，且.

所以，解得，所以.

由，即，解得.

因?yàn)?/span>，所以在線段上存在點(diǎn)D，使得，此時.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．若不等式f（x）≤0恒成立，則 的最小值為 ．

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（1）求的取值范圍.

（2）若當(dāng)取最大值時， ，且在中， 分別是角的對邊，其面積，求周長的最小值.

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A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C： =1經(jīng)過點(diǎn)（b，2e），其中e為橢圓C的離心率．過點(diǎn)T（1，0）作斜率為k（k＞0）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（A在x軸下方）．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓C于點(diǎn)M，N，求 的值；
（3）記直線l與y軸的交點(diǎn)為P．若 = ，求直線l的斜率k．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定數(shù)列{cn}，如果存在常數(shù)p、q使得cn+1＝pcn+q對任意n∈N*都成立，則稱{cn}為“M類數(shù)列”．

（1）若{an}是公差為d的等差數(shù)列，判斷{an}是否為“M類數(shù)列”，并說明理由；

（2）若{an}是“M類數(shù)列”且滿足：a1＝2，an+an+1＝32n．

①求a2、a3的值及{an}的通項(xiàng)公式；

②設(shè)數(shù)列{bn}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1＝32n+1﹣4n﹣6，且集合M＝{n|≥λ，n∈N*}中有且僅有3個元素，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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【題目】設(shè)a，b∈R．若直線l：ax+y﹣7=0在矩陣A= 對應(yīng)的變換作用下，得到的直線為l′：9x+y﹣91=0．求實(shí)數(shù)a，b的值．

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【題目】高三年級有500名學(xué)生，為了了解數(shù)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在一次測試中的數(shù)學(xué)成績，制成如下頻率分布表：

分組

頻數(shù)

頻率

12

4

合計

根據(jù)上面圖表，求處的數(shù)值

在所給的坐標(biāo)系中畫出的頻率分布直方圖；

根據(jù)題中信息估計總體平均數(shù)，并估計總體落在中的概率．

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【題目】拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如:若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線 ＞，弦AB過焦點(diǎn)，△ABQ為其阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為

A. B. C. D.

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