7.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓C的上頂點(diǎn),B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn),∠F1AF2=60°
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若a=2,求△AF1B的面積.

分析 (1)由題意可知:△AF1B為等邊三角形,因此a=2c,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$,即可求得橢圓C的離心率;
(2)由題意題意可知:當(dāng)a=2,則c=1,由b2=a2-c2=3,即可求得橢圓方程,由直線的斜率k=-tan∠AF1F2=-$\sqrt{3}$,即可求得直線方程,代入橢圓方程,即可求得B點(diǎn)坐標(biāo),由${S}_{A{F}_{1}B}$=${S}_{A{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F1F2丨•丨AO丨+$\frac{1}{2}$丨F1F2丨•丨yB丨,代入即可求得△AF1B的面積.

解答 解:(1)由題意可知,△AF1B為等邊三角形,
∴a=2c,
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$,
橢圓C的離心率$\frac{1}{2}$;
(2)由(1)可知:a=2c,a=2,c=1,則b2=a2-c2,b=$\sqrt{3}$,
∴橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$,
∴A(0,$\sqrt{3}$),F(xiàn)2(1,0),
∴直線AC的斜率k=-tan∠AF1F2=-$\sqrt{3}$,
∴直線AC的方程為y-0=-$\sqrt{3}$(x-1)=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=-\frac{3\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$(舍)
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為($\frac{8}{5}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$),
所以
${S}_{A{F}_{1}B}$=${S}_{A{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F1F2丨•丨AO丨+$\frac{1}{2}$丨F1F2丨•丨yB丨=$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•2•$\frac{3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$,
∴△AF1B的面積$\frac{8\sqrt{3}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形的面積公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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