Question

【題目】如圖：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中點，F是AB中點．

（Ⅰ）求證：BE∥平面PDF；

（Ⅱ）求直線PD與平面PFB所成角的正切值；

（Ⅲ）求三棱錐P﹣DEF的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）.

【解析】試題解析：（Ⅰ）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明取的中點為，連接，則可證四邊形是平行四邊形，得出，從而證明結(jié)論；（Ⅱ）先證⊥， ⊥，利用線面垂直的性質(zhì)定理可證明⊥平面可得∠為直線與平面所成角，利用直角三角形選擇求求其正切值，即可得結(jié)果；（Ⅲ）利用等積變形和三棱錐的體積計算公式可得==.

（Ⅰ）證明：取中點，連，;

因為，分別為， 中點，所以， ∥;

且是中點， ， ∥;

且∥，

則四邊形為平行四邊形

所以∥，且 平面; 平面；

（Ⅱ）解：因為⊥底面， 底面，所以⊥；

又因為底面是菱形， =2， =1，∠=，則,

+ = ， ⊥，

且, 所以⊥平面,

則是在平面內(nèi)的射影，

∠為直線與平面所成角，

==

（Ⅲ）解：因為是中點，點到平面的距離等于點到平面的距離,

==.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.