Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n=2n．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出．
（2）$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$．利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n=2n．
n≥2時(shí)，a₁+3a₂+…+（2n-3）a_n-1=2（n-1）．
∴（2n-1）a_n=2．∴a_n=$\frac{2}{2n-1}$．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，上式也成立．
∴a_n=$\frac{2}{2n-1}$．
（2）$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$}的前n項(xiàng)和=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．