Question

3．以下命題中，正確命題的序號是②③．
①函數y=tanx在定義域內是增函數；
②函數y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象關于x=$\frac{π}{12}$成軸對稱；
③已知$\overrightarrow$=（3，4），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-2，則向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow$的方向上的投影是-$\frac{2}{5}$
④如果函數f（x）=ax²-2x-3在區(qū)間（-∞，4）上是單調遞減的，則實數a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 根據正切函數的單調性，可判斷①；根據正弦型 函數的對稱性，可判斷②；根據向量的投影的定義，可判斷③；根據函數的單調性，可判斷④．

解答 解：函數y=tanx在定義域內不是單調函數，故①錯誤；
當x=$\frac{π}{12}$時，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，故函數y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象關于x=$\frac{π}{12}$成軸對稱，故②正確；
∵$\overrightarrow$=（3，4），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-2，則向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow$的方向上的投影是$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\left|\overrightarrow\right|}$=-$\frac{2}{5}$，故③正確；
如果函數f（x）=ax²-2x-3在區(qū)間（-∞，4）上是單調遞減的，則f′（x）=2ax-2≤0在區(qū)間（-∞，4）上恒成立，
解得：a∈[0，$\frac{1}{4}$]．故④錯誤；
故答案為：②③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了正切函數的單調性，正弦型 函數的對稱性，向量的投影，函數的單調性，難度中檔．