Question

17．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=1，BC=2，S，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（I）證明：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）在線段AB上找一點(diǎn)P，使得直線AC₁與CP所成角的為60°，求$\frac{{|{\overrightarrow{AP}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)CB₁與C₁B相交于E，連結(jié)DE，證明DE∥AC₁，然后證明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，CC₁為z軸，CA為x軸，CB為y軸，設(shè)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}（0＜λ＜1）$，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)CB₁與C₁B相交于E，連結(jié)DE，…．（2分）
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，∴DE∥AC₁，…．（6分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．…．（7分）
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，CC₁為z軸，CA為x軸，CB為y軸，…．（9分）
設(shè)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}（0＜λ＜1）$，
$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{AB}=（{1-λ，2λ，0}）$，
$\overrightarrow{A{C_1}}=（{-1，0，1}）$
所以$|{cos\left?{\overrightarrow{A{C_1}}，\overrightarrow{CP}}\right＞}|=\frac{1}{2}$$⇒λ=\frac{1}{3}$
即求$\frac{{|{\overrightarrow{AP}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$=$\frac{1}{3}$…15分．
（向量寫出，夾角公式寫出，計(jì)算答案錯誤至少給2分）
非向量做法：指出角給（2分），其他視情況相應(yīng)給分

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行，點(diǎn)線面距離的求法，異面直線所成角的求法，考查會計(jì)信息能力，以及計(jì)算能力．