Question

8．在四棱錐DN⊥平面PBC中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，AB⊥AD，AB∥CD，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)．
（I）求證：MB∥平面PAD；
（II）求二面角P-BC-D的余弦值；
（III）在線段PB上是否存在點(diǎn)N，使得DN⊥平面PBC？若存在，請(qǐng)求出$\frac{PN}{PB}$的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點(diǎn)H，連結(jié)MH，AH．由三角形中位線定理可得HM∥CD，HM=$\frac{1}{2}$CD．又已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，可得四邊形ABMH為平行四邊形，得BM∥AH．再由線面平行的判定可得BM∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO．以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面BCD與平面PBC的法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角P-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N（x，y，z），且$\frac{PN}{PB}$=λ，λ∈[0，1]，由$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PB}$求得N的坐標(biāo)，再由$\overrightarrow{DN}∥\overrightarrow{n}$得到關(guān)于λ的方程組，求解即可得到在線段PB上不存在點(diǎn)N，使得DN⊥平面PBC．

解答 （Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)H，連結(jié)MH，AH．
∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴HM∥CD，HM=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，∴AB∥HM且AB=HM．
∴四邊形ABMH為平行四邊形，得BM∥AH．
∵BM?平面PAD，AH?平面PAD，∴BM∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO．
∵PA=PD，PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，PO⊥平面ABCD．
以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，4，0），
D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$ ），
$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$）．
平面BCD的法向量$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$ ），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，1，\sqrt{3}）$．
∴cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
由圖可知，二面角P-BC-D是銳二面角，
∴二面角P-BC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
（Ⅲ）不存在．
設(shè)點(diǎn)N（x，y，z），且$\frac{PN}{PB}$=λ，λ∈[0，1]，
則$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PB}$，
∴（x，y，z-$\sqrt{3}$）=λ（1，2，-$\sqrt{3}$）．
則x=λ，y=2λ，z=$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$，
∴N（$λ，2λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DN}$=（$λ+1，2λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$）．
若DN⊥平面PBC，則$\overrightarrow{DN}∥\overrightarrow{n}$，即$λ+1=2λ=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}{\sqrt{3}}$，此方程無解，
∴在線段PB上不存在點(diǎn)N，使得DN⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．