Question

8．已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當x∈[-1，0]時，函數(shù)解析式為$f（x）=\frac{1}{4^x}-\frac{1}{2^x}$．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，利用條件結(jié)合奇函數(shù)的定義求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）設(shè)t=2^x（t＞0），則y=-t²+t，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求f（x）在[0，1]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]．∴f（x）=$\frac{1}{{{4^{-x}}}}$-$\frac{1}{{{2^{-x}}}}$=4^x-2^x
又∵f（-x）=-f（x）=-（4^x-2^x）∴f（x）=2^x-4^x．
所以，f（x）在[0，1]上的解析式為f（x）=2^x-4^x（6分）
（Ⅱ）當x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=-（2^x）²+2^x，
∴設(shè)t=2^x（t＞0），則y=-t²+t∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]
當t=1時x=0，f（x）_max=0；當t=2時x=1，f（x）_min=-2．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．