Question

17．已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2，則y=f（x）的解析式為f（x）=$\frac{5}{2}{x}^{4}-\frac{9}{2}{x}^{2}+1$．

Answer 1

分析 由f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）求得c=1，再由在x=1處的切線方程是y=x-2，得到f′（1）=1且f（1）=-1，聯(lián)立求出a，b的值得答案．

解答 解：∵f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），
∴f（0）=c=1，
則f（x）=ax⁴+bx²+1，
f′（x）=4ax³+2bx，
又在x=1處的切線方程是y=x-2，
∴f′（1）=4a+2b=1，且f（1）=a+b+1=-1，解得$a=\frac{5}{2}，b=-\frac{9}{2}$．
∴y=f（x）的解析式為f（x）=$\frac{5}{2}{x}^{4}-\frac{9}{2}{x}^{2}+1$．
故答案為：f（x）=$\frac{5}{2}{x}^{4}-\frac{9}{2}{x}^{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．