(2008•臨沂二模)已知函數(shù)f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數(shù),當x∈[-e,0)時,f(x)=ax-ln(-x),(a<0,a∈R)
(I)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,使得當x∈(0,e]時f(x)的最大值是-3,如果存在,求出實數(shù)a的值;如果不存在,請說明理由.
分析:(I)利用奇函數(shù)的定義即可得出;
(II)假設(shè)存在實數(shù)a,使得當x∈(0,e]時f(x)的最大值是-3.利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得f(x)=a+
1
x
=
ax+1
x
,分類討論(i)當-
1
a
≥e
時,(ii)當-
1
a
<e
時,即a<-
1
e
時.得出即可.
解答:解:(I)設(shè)x∈(0,e],則-x∈[-e,0).
而f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x)=-[a(-x)-lnx]=ax+lnx.
f(x)=
ax-ln(-x),x∈[-e,0)
ax+lnx,x∈(0,e]

(II)假設(shè)存在實數(shù)a,使得當x∈(0,e]時f(x)的最大值是-3.
f(x)=a+
1
x
=
ax+1
x

(i)當-
1
a
≥e
時,即-
1
e
≤a<0
時.f(x)在(0,e]上是增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1=-3,解得a=
-4
e
<-
1
e
,應(yīng)舍去.
(ii)當-
1
a
<e
時,即a<-
1
e
時.
列表
由表格可知:f(-
1
a
)=-1+ln(-
1
a
)=-3
,得a=-e2
故存在實數(shù)a=-e2,使f(x)在(0,e]上取得最大值-3.
點評:熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法、奇函數(shù)的意義等是解題的關(guān)鍵.
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