Question

2．設數(shù)列{a_n}，a₂=$\frac{a}{3}$（a為非零常數(shù)），a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3}$+$\frac{a}{{3}^{n}}$，數(shù)列{b_n}，b_n=3^n-1a_n，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項的和．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）是否存在實數(shù)a、b，使得對任意正整數(shù)t，數(shù)列{b_n}中滿足b_n+b≤t的最大項恰是第3t-2項？若存在，分別求出a與b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推公式得到{3ⁿa_n}是以0為首項，以3a為公差的等差數(shù)列，求出其通項公式，再求出數(shù)列{b_n}的通項公式，根據(jù)定義證明即可；
（2）根據(jù)條件b_n+b≤t求出n滿足的條件，再根據(jù)滿足b_n+b≤t的最大項恰是為3t-2，轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，分析求解即可．

解答 解：（1）證明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3}$+$\frac{a}{{3}^{n}}$，
∴3ⁿ⁺¹a_n+1-3ⁿa_n=3a，
當n=2時，a₁=0，
∴3ⁿa_n=0，
∴{3ⁿa_n}是以0為首項，以3a為公差的等差數(shù)列，
∴3ⁿa_n=0+3a（n-1）=3a（n-1）
∴a_n=$\frac{（n-1）a}{{3}^{n-1}}$，
∴b_n=3^n-1a_n=（n-1）a，
∴b_n-b_n-1=（n-1）a-（n-2）a=a，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）由b_n+b≤t，得a（n-1）+b≤t．
若a＜0，則n≥$\frac{t-b}{a}$+1，不合題意，舍去；     
若a＞0，則n≤$\frac{t-b}{a}$+1．
∵不等式b_n+b≤t成立的最大正整數(shù)解為3t-2，
∴3t-2≤$\frac{t-b}{a}$+1＜3t-1，
即2a-b＜（3a-1）t≤3a-b，對任意正整數(shù)t都成立．
∴3a-1=0，解得a=$\frac{1}{3}$，
此時，$\frac{2}{3}$-b＜0≤1-b，解得$\frac{2}{3}$＜b≤1．
故存在實數(shù)a、b滿足條件，a與b的取值范圍是a=$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$＜b≤1．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的項與前n項和之間的關(guān)系及數(shù)列的綜合問題．