Question

已知命題P：函數(shù)f（x）=log_2m（x+1）是增函數(shù)；命題Q：?x∈R，x²+mx+1≥0．
（1）寫出命題Q的否命題?Q；并求出實數(shù)m的取值范圍，使得命題?Q為真命題；
（2）如果“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）?Q：?x₀∈R，x₀²+mx₀+1＜0．（2分）
若?Q為真命題，則△=m²-4＞0，解得：m＜-2，或m＞2．
故所求實數(shù)m的取值范圍為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．（5分）
（2）若函數(shù)f（x）=log_2m（x+1）是增函數(shù)，則 2m＞1，．（7分）
又?x∈R，x²+mx+1≥0為真命題時，由△=m²-4≤0m的取值范圍為B={m|-2≤m≤2}．（9分）
由“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，故命題P、Q中有且僅有一個真命題．
當(dāng)P真Q假時，實數(shù)m的取值范圍為：
．（11分）
當(dāng)P假Q(mào)真時，實數(shù)m的取值范圍為：
；（13分）
綜上可知實數(shù)m的取值范圍：[-2，]∪（2，+∞）．（14分）
分析：（1）否命題?Q，就是把命題Q的條件和結(jié)論都否定，聯(lián)系對應(yīng)二次函數(shù)圖象，由△=m²-4＞0，解得m的取值范圍．
（2）命題P和命題Q中，一個為真命題，一個為假命題，分命題P是真命題命題Q是假命題，命題P是假命題命題Q是真命題兩種情況，計算可得答案．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次不等式的解法，命題的否定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想．