Question

已知函數f（x）=|1-2^x|（x∈R），
（Ⅰ）當函數y=f（x）的定義域為[a，b]（b＞a＞0）時，其值域為[1，3]，求實數a，b的值．
（Ⅱ）當a≠b，且f（a）=f（b）時，求2^a+2^b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數的定義為[a，b]（b＞a＞0），可得f（x）=2^x-1，結合函數的單調性和極域，可構造關于a，b的方程組，解方程組可得a，b的值；
（II）由f（a）=f（b）得：|1-2^a|=|1-2^b|，結合b＞a＞0，可得1-2^a=2^b-1，進而可得2^a+2^b=2；

解答：解：（I）∵x＞0，
∴f（x）=2^x-1…（1分）
又函數f（x）=2^x-1在（0，+∞）是增函數，其值域為[1，3]，
則

f(a)=1 f(b)=3

…（3分）
即

2a-1=1 2b-1=3

解得：

a=1 b=2

…（5分）
（ⅠI）由f（a）=f（b）得：|1-2^a|=|1-2^b|，…（6分）
∴1-2^a=1-2^b或1-2^a=2^b-1，…（8分）
∵a≠b，
∴1-2^a≠1-2^b…（9分）
∴1-2^a=2^b-1，
∴2^a+2^b=2…（10分）

點評：本題考查的知識點是指數函數的綜合應用，熟練掌握指數函數的圖象和性質是解答的關鍵．