如圖所示,將一塊直角三角形板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中,已知AB=OB=1,AB⊥OB,點(diǎn)P是三角板內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)因三角板中陰影部分受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可用經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN.問(wèn):
(1)求直線MN的方程
(2)求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)
(3)應(yīng)如何確定直線MN的斜率,可使鋸成的△AMN的面積最大?

【答案】分析:(1)依題意得直線MN過(guò)點(diǎn)P且其斜率存在,由直線的點(diǎn)斜式方程可寫出答案;
(2)根據(jù)題意,M為OA與MN的交點(diǎn),N為AB與MN的交點(diǎn),易得OA、OB的方程,由(1)中所得的MN的方程,結(jié)合兩直線交點(diǎn)的求法,聯(lián)立直線的方程,易得M、N的坐標(biāo);
(3)先根據(jù)三角形面積公式寫出S△AMN關(guān)于k的關(guān)系式,設(shè)t=1-k,則,轉(zhuǎn)化為求f(t)的最大值問(wèn)題,用作差法判斷出f(t)在是增函數(shù),即t=時(shí),f(t)取得最大值,將t=代入f(t)中,可得答案.
解答:解:(1)依題意得直線MN過(guò)點(diǎn)P且其斜率存在,則MN方程為:
(2)∵AB⊥OB,|AB|=|OB|=1,
∴直線OA方程為:y=x 直線AB方程為:x=1,
,可得,
,可得k≥1或k≤,
又由,
可得k≤
;
,
(3)S△AMN==
設(shè),
當(dāng)時(shí),f(t1)-f(t2)==
,∴t1t2>0,t1-t2<0,4t1t2-1>0,
∴f(t1)-f(t2)<0,即f(t1)<f(t2).
∴f(t)在是增函數(shù),
∴當(dāng)時(shí),,即當(dāng)1-k=時(shí)即k=時(shí),
S△max=
點(diǎn)評(píng):本題考查直線方程的運(yùn)用,解(3)題時(shí),注意先轉(zhuǎn)化問(wèn)題,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)求函數(shù)的最大值的方法,求出答案.
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是三角板內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)因三角板中陰影部分受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可用經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN.問(wèn):
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