已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=3時(shí),求函數(shù)f(x)在[
1
2
,2]
上的最大值;
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)在(
1
2
,2)
單調(diào)時(shí),求a的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)f(x)在[
1
2
,2]
上的單調(diào)性,從而可f(x)在[
1
2
,2]
上的最大值;
(2)函數(shù)f(x)在(
1
2
,2)
單調(diào),等價(jià)于f'(x)≤0在(
1
2
,2)
恒成立,或f'(x)≥0在在(
1
2
,2)
恒成立,利用分離參數(shù)法,求出函數(shù)的最值即可.
解答:解:(1)a=3時(shí),f′(x)=-2x+3-
1
x
=-
2x2-3x+1
x
=-
(2x-1)(x-1)
x

∵當(dāng)x∈(
1
2
,1)
時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(
1
2
,2)
僅有極大值點(diǎn)x=1,故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),
故函數(shù)在[
1
2
,2]
最大值是f(1)=2,…(5分)
(2)f′(x)=-2x+a-
1
x
,令g(x)=2x+
1
x
,則g′(x)=2-
1
x2
,
則函數(shù)g(x)在(
1
2
2
2
)
遞減,在(
2
2
,2)
遞增,
g(
1
2
)=3
,g(2)=
9
2
,g(
2
2
)=2
2
,故函數(shù)g(x)在(
1
2
,2)
的值域?yàn)?span id="htmqtmf" class="MathJye">[2
2
,
9
2
).
若f'(x)≤0在(
1
2
,2)
恒成立,即a≤2x+
1
x
(
1
2
,2)
恒成立,只要a≤2
2
,
若要f'(x)≥0在在(
1
2
,2)
恒成立,即a≥2x+
1
x
(
1
2
,2)
恒成立,
只要a≥
9
2

即a的取值范圍是(-∞,2
2
]∪[
9
4
,+∞)
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查恒成立問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( �。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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