Question

20．若（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．求：
（1）展開式中含x的一次冪的項(xiàng)；
（2）展開式中所有x的有理項(xiàng)；
（3）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由條件先求出n=8，可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)為1，可得展開式中含x的一次冪的項(xiàng)；
（2）令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，即可求得展開式中的有理項(xiàng)．
（3）記第r項(xiàng)系數(shù)為T_r，記第k項(xiàng)系數(shù)最大，則有T_k≥T_k+1，且T_k≥T_k-1，由此可得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：由題知${C}_{n}^{0}$+$\frac{2}{{2}^{2}}•{C}_{n}^{2}$=2•$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$，
可得n=8或n=1（舍去）．
（1）T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^-r•${x}^{4-\frac{3}{4}r}$．
令4-$\frac{3}{4}$r=1，得r=4，
所以x的一次冪的項(xiàng)為T₅=${C}_{8}^{4}$2^-4x=$\frac{35}{8}$x．
（2）令4-$\frac{3}{4}$r∈Z（r=0，1，2，…，8）所以只有當(dāng)r=0，4，8時，對應(yīng)的項(xiàng)才為有理項(xiàng)．有理項(xiàng)為T₁=x⁴，T₅=$\frac{35}{8}$x，T₉=$\frac{1}{256{x}^{2}}$．
（3）記第r項(xiàng)系數(shù)為T_r，記第k項(xiàng)系數(shù)最大，則有T_k≥T_k+1，且T_k≥T_k-1．
又T_r=${C}_{8}^{r-1}$2^-r+1，于是有$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{k-1}{2}^{-k+1}≥{C}_{8}^{k}{2}^{-k}}\\{{C}_{8}^{k-1}{2}^{-k+1}≥{C}_{8}^{k-2}{2}^{-k+2}}\end{array}\right.$
解得3≤k≤4．
所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)T₃=7${x}^{\frac{5}{2}}$和第4項(xiàng)T₄=7${x}^{\frac{7}{4}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．