Question

數(shù)集A滿足條件：若a∈A，則

1

1-a

∈A（a≠1）
（1）若2∈A，試求出A中其他所有元素
（2）自己設(shè)計一個數(shù)屬于A，然后求出A中其他所有元素
（3）從上面的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的“道理”．

Answer 1

考點：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：（1）根據(jù)條件進行遞推即可得到A中其他所有元素．
（2）不妨設(shè)x=3，求出A中其他所有元素
（3）根據(jù)（1）（2）的元素特點得到結(jié)論并證明．

解答： （1）若2∈A，則

1

1-2

=-1∈A，

1

1+1

=

1

2

∈A，

1

1- 1 2

=2∈A，
即A中其他所有元素為-1，

1

2

．
（2）若3∈A，則

1

1-3

=-

1

2

∈A，

1

1+ 1 2

=

2

3

∈A，

1

1- 2 3

=3∈A，
即A中其他所有元素-

1

2

，

2

3

．
（3）A中只有三個元素a，

1

1-a

，

a-1

a

，且三個數(shù)的成績?yōu)?1．
證明：a∈A，則

1

1-a

∈A（a≠1且

1

1-a

≠1）
則

1

1- 1 1-a

=

a-1

a

∈A，且

a-1

a

≠1，
進而

1

1- a-1 a

=a∈A，
∵a≠

1

1-a

（若a=

1

1-a

，即a²-a+1=0，此時方程無解）
∴

1

1-a

≠

a-1

a

，
∴A中只有3個元素a，

1

1-a

，

a-1

a

，且三個數(shù)的成績?yōu)?1．

點評：本題主要考查元素和集合的關(guān)系，利用條件進行推理并總結(jié)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的推理能力．