Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=$\sqrt{3}$，且四邊形ABCD為菱形，AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：AB⊥PD；
（2）求平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB邊中點G，連接PG，DG，DB，推導出PG⊥AB，DG⊥AB，由此能證明AB⊥PD．
（2）以G為原點，GA，GD，GP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成的二面角的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）取AB邊中點G，連接PG，DG，DB．圖1所示
∵PA=PB=$\sqrt{3}$，∴PG⊥AB，…（2分）
又∵四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴DG⊥AB，
又∵PG∩DG=G，∴AB⊥面PGD，
又∵PG?平面PGD，∴AB⊥PD． …（5分）
（2）又∵PG⊥AB，面PAB⊥面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
∴PG⊥面ABCD，…（6分）
∴以G為原點，GA，GD，GP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，圖2所示．
G（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），C（-2，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（-2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），
∵面PAB⊥面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，DG⊥AB，
∴DG⊥面PAB，
∴$\overrightarrow{GD}$為面PAB的法向量，且$\overrightarrow{GD}$=（0，$\sqrt{3}$，0），…（8分）
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為面PCD的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-2x+\sqrt{3}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}，\sqrt{3}$），…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{GD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{GD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{GD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
又平面PAB與平面PCD所成二面角的平面角為銳角，
故所求二面角的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．   …（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．