Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（5cosα，4），$\overrightarrow$=（3，4tanα），其中α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求sin2α的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=5，向量$\overrightarrow{c}$=（2，0），求證：（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標結(jié)合向量共線的條件列式求得sinα，進一步得到cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；
（2）由已知求得cosα，得到tanα，求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標，然后利用數(shù)量積證得答案．

解答 （1）解：∵$\overrightarrow{a}$=（5cosα，4），$\overrightarrow$=（3，4tanα），且$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，
∴5cosα•4tanα-12=0，得20sinα=12，sin$α=\frac{3}{5}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cosα=$-\frac{4}{5}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$2×\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）=-\frac{24}{25}$；
（2）證明：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{25co{s}^{2}α+16}=5$，
得cosα=-$\frac{3}{5}$，則sinα=$\frac{4}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$=（5cosα，4）=（-3，4），$\overrightarrow$=（3，4tanα）=（3，-$\frac{16}{3}$），
則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（0，-\frac{4}{3}）$，
∵$\overrightarrow{c}$=（2，0），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=0×$2-\frac{4}{3}×0=0$．
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量垂直與夾角的關(guān)系，是中檔題．