Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+4x，(x≥0) ax，  (x＜0)

且f（-1）=2．
（1）求a的值；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個(gè)互不相等的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，
①求m的取值范圍；
②求x₁+x₂+x₃的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式即可求a的值；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式即可寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（-1）=2，∴f（-1）=-a=2，即a=-2；
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=

-x2+4x，x≥0 -2x，x＜0

，
作出函數(shù)f（x）的圖象，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2]，遞減區(qū)間為（-∞，0]和[2，+∞）．
（3）①若函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個(gè)互不相等的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，
即f（x）=m有三個(gè)根，即函數(shù)y=f（x）與y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則0＜m＜4，即m的取值范圍是（0，4）；
②不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
則x₁＜0，x₂＞0，x₃＞0，且x₂，x₃，關(guān)于x=2對(duì)稱，
則x₂+x₃=2×2=4，
則x₁+x₂+x₃=x₁+4＜4，
即x₁+x₂+x₃的取值范圍是（-∞，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．