Question

6．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=12cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$（參數(shù)θ∈R），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{3}{{cos（θ+\frac{π}{3}）}}$，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為$（4\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$．
（1）將曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求出點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為曲線C₁上的點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到曲線C₂上的點(diǎn)的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的方法，可得結(jié)論；
（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，求PQ中點(diǎn)M到曲線C₂上的點(diǎn)的距離的最小值．

解答 解：（1）$ρ=\frac{3}{{cos（θ+\frac{π}{3}）}}$，得$\frac{1}{2}ρcosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}ρsinθ=3$，
故曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$x-\sqrt{3}y-6=0$，
點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（4，4）．
（2）設(shè)P（12cosθ，4sinθ），故PQ中點(diǎn)M（2+6cosθ，2+2sinθ），C₂的直線方程為$x-\sqrt{3}y-6=0$，
點(diǎn)M到C₂的距離$d=\frac{{|2+6cosθ-\sqrt{3}（2+2sinθ）-6|}}{2}$=$|3cosθ-\sqrt{3}sinθ-2-\sqrt{3}|$
=$|2\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）-2-\sqrt{3}|≥|2\sqrt{3}-2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，
PQ中點(diǎn)M到曲線C₂上的點(diǎn)的距離的最小值是$2-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．