如圖,已知點為橢圓右焦點,圓與橢圓的一個公共點為,且直線與圓相切于點.

(1)求的值及橢圓的標準方程;
(2)設動點滿足,其中M、N是橢圓上的點,為原點,直線OM與ON的斜率之積為,求證:為定值.

(1);(2)證明過程詳見解析.

解析試題分析:本題主要考查橢圓的標準方程以及幾何性質等基礎知識,考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問,由橢圓C過點(0,1)點,所以得到,由,得,在直角三角形AFB中,利用勾股定理求參數(shù)a,c的值,從而得到橢圓的標準方程;第二問,設出點M,N,P的坐標,代入到中,得到、的關系,得到、的關系,又由于點M,N在橢圓上,代入橢圓方程中,得到關系式,都代入到所求的式子中,化簡得到定值.
試題解析:(1)由題意可知,又.又 .   2分
中,,
故橢圓的標準方程為:            6分
(2)設
∵M、N在橢圓上,∴
又直線OM與ON的斜率之積為,∴,
于是
.故為定值.    13分
考點:橢圓的標準方程以及幾何性質.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設橢圓的中心和拋物線的頂點均為原點、的焦點均在軸上,過的焦點F作直線,與交于A、B兩點,在、上各取兩個點,將其坐標記錄于下表中:


(1)求的標準方程;
(2)若交于C、D兩點,的左焦點,求的最小值;
(3)點上的兩點,且,求證:為定值;反之,當為此定值時,是否成立?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知點在拋物線上,直線,且)與拋物線,相交于、兩點,直線、分別交直線于點.
(1)求的值;
(2)若,求直線的方程;
(3)試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點?若是,求這兩個定點的坐標;若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過點A(1,0)的直線,使點C(2,0)關于直線的對稱點在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標系xOy中,設曲線C1所圍成的封閉圖形的面積為,曲線C1上的點到原點O的最短距離為.以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓記為C2
(1)求橢圓C2的標準方程;
(2)設AB是過橢圓C2中心O的任意弦,l是線段AB的垂直平分線.Ml上的點(與O不重合).
①若MO=2OA,當點A在橢圓C2上運動時,求點M的軌跡方程;
②若Ml與橢圓C2的交點,求△AMB的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖所示,已知、是長軸長為的橢圓上的三點,點是長軸的一個端點,過橢圓中心,且,

(1)求橢圓的方程;
(2)在橢圓上是否存點,使得?若存在,有幾個(不必求出點的坐標),若不存在,請說明理由;
(3)過橢圓上異于其頂點的任一點,作圓的兩條線,切點分別為、,,若直線 在軸、軸上的截距分別為、,證明:為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,橢圓C:的左頂點為A,M是橢圓C上異于點A的任意一點,點P與點A關于點M對稱.

(1)若點P的坐標,求m的值;
(2)若橢圓C上存在點M,使得,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,右焦點為(,0).
(1)求橢圓的方程;  
(2)若過原點作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于兩點,求證:點到直線的距離為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系xOy中,M、N分別是橢圓=1的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點,其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連結AC,并延長交橢圓于點B,設直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN,求k的值;
(2)當k=2時,求點P到直線AB的距離d;
(3)對任意k>0,求證:PA⊥PB..

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