Question

△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A=

π

3

，a=

3

．
（1）若△ABC的面積為

3

2

，求△ABC的周長(zhǎng)；
（2）設(shè)B=x，△ABC的周長(zhǎng)為y，求y=f（x）的表達(dá)式和最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinA和已知的面積值代入求出bc的值，記作①，再由余弦定理得到a²=b²+c²-2bc•cosA，將a，cosA及bc的值代入求出b²+c²的值，記作②，聯(lián)立①②求出b與c的值，進(jìn)而得出三角形的周長(zhǎng)；
（2）由A的度數(shù)，及B=x，利用三角形的內(nèi)角和定理表示出C的度數(shù)，由a與sinA的值，利用正弦定理分別表示b與c，進(jìn)而表示出三角形的周長(zhǎng)，得到關(guān)于y的關(guān)系式，把關(guān)系式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后前兩項(xiàng)提取2

3

，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x的范圍，得到這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到正弦函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到y(tǒng)的最大值．

解答：解：（1）∵A=

π

3

，a=

3

，且△ABC的面積為

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

2

，
∴bc=2①，
由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：3=b²+c²-bc=b²+c²-2，
∴b²+c²=5②，
聯(lián)立①②，解得a=1，b=2或a=2，b=1，
則△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=

3

+2+1=3+

3

；
（2）∵A=

π

3

，B=x，
∴C=π-A-B=

2π

3

-x，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：
b=

asinB

sinA

=

3 sinx

3 2

=2sinx，c=

asinC

sinA

=

3 sin( 2π 3 -x)

3 2

=2sin（

2π

3

-x），
∴周長(zhǎng)y=a+b+c=

3

+2sinx+2sin（

2π

3

-x）
=

3

+2sinx+2sin

2π

3

cosx-2cos

2π

3

sinx
=3sinx+

3

cosx+

3

=2

3

（

3

2

sinx+

1

2

cosx）+

3

=2

3

sin（x+

π

6

）+

3

，
∵0＜x＜π，∴

π

6

＜x+

π

6

＜

7π

6

，
則當(dāng)x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)，y_max=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：三角形的面積公式，正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．