Question

若a_n是（2+x）ⁿ（n∈N^*，n≥2，x∈R）展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)，則

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

)=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),極限及其運(yùn)算

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由題意可得x²項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 n

•2n-2，即a_n=

C

2 n

•2n-2．再把要求的式子 

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

) 化為

lim

n→∞

4•(

1

1

+

1

C 2 3

+…+

1

C 2 n

)，即

lim

n→∞

8•(1-

1

n

)，從而得到結(jié)果．

解答： 解：∵a_n是（2+x）ⁿ（n∈N^*，n≥2，x∈R）展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)，
又 （2+x）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r n

•2^n-r•x^r，令r=2，可得x²項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 n

•2n-2．
∴a_n=

C

2 n

•2n-2．
∴

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

)=

lim

n→∞

(

22

1

+

23

C 2 n •2

+…+

2n

C 2 n •2n-2

)
=

lim

n→∞

(

22

1

+

22

C 2 3

+…+

22

C 2 n

)=

lim

n→∞

4•(

1

1

+

1

C 2 3

+…+

1

C 2 n

) 
=

lim

n→∞

4•(

1

1

+

2

2×3

+

2

3×4

…+

2

n(n-1)

)=

lim

n→∞

8•(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

) 
=

lim

n→∞

8•(1-

1

n

)=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，極限及其運(yùn)算，屬于中檔題．