Question

8．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{1-2^x}{a+2^{x+1}}$是奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）試判斷f（x）在（-∞，+∞）的單調(diào)性，并請你用函數(shù)單調(diào)性的定義給予證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＜0恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)性質(zhì)得f（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{a+{2}^{-x+1}}$=-f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{a+{2}^{x+1}}$，由此能求出a的值．
（2）$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$，在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．令2^x=t，由定義法能證明f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＜0恒成立，等價于不等式f（mt²+1）＜f（mt-1）恒成立，由f（x）在R上是減函數(shù)，得對任意的t∈R，mt²+1＞mt-1恒成立，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{1-2^x}{a+2^{x+1}}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{a+{2}^{-x+1}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{a×{2}^{x}+2}$=-f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{a+{2}^{x+1}}$，
∴a×2^x+2=a+2^x+1，
解得a=2．
檢驗：a=2時，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2+{2}^{x+1}}$，
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2+{2}^{-x+1}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{2•{2}^{x}+2}$，
∴f（x）+f（-x）=0對x∈R恒成立，即f（x）是奇函數(shù)．
∴當(dāng)函數(shù)f（x）=$\frac{1-2^x}{a+2^{x+1}}$是奇函數(shù)時，a的值為2．
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$，f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
證明如下：
 令2^x=t，則y=$\frac{1-t}{2+2t}$=$\frac{1}{2}×\frac{1-t}{1+t}$=-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2}{t+1}$）=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{t+1}$，
在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵t=2^x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，∴0＜t₁＜t₂，
∴y₁-y₂=（-$\frac{1}{2}+\frac{1}{{t}_{1}+1}$）-（-$\frac{1}{2}+\frac{1}{{t}_{2}+1}$）=$\frac{1}{{t}_{1}+1}-\frac{1}{{t}_{2}+1}$=$\frac{{t}_{2}-{t}_{1}}{（{t}_{1}+1）（{t}_{2}+1）}$，
∵0＜t₁＜t₂，∴t₂-t₁＞0，t₁+1＞0，t₂+1＞0，
∴y₁-y₂＞0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＜0恒成立，等價于不等式f（mt²+1）＜f（mt-1）恒成立，
∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴對任意的t∈R，mt²+1＞mt-1恒成立，
整理，得：mt²-mt+2＞0對任意的t∈R恒成立，
當(dāng)m=0時，不等式為2＞0恒成立，符合題意；
當(dāng)m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△={m}^{2}-8m＜0}\end{array}\right.$，解得0＜m＜8．
綜上，實數(shù)m的取值范圍為[0，8）．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)的性質(zhì)、換元法、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．