【題目】已知函數(shù)f(x)=eax1﹣ax2 , a為不等于零的常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)a<0時(shí),求函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若對(duì)任意x1 , x2 , 當(dāng)x1<x2時(shí),f(x2)﹣f(x1)>a( ﹣2x1)(x2﹣x1)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=aeax1﹣2ax, 令g(x)=aeax1﹣2ax,
∴g′(x)=a2eax1﹣2a>0,
∴g(x)在R上單調(diào)遞增,
∵g(0)=aea<0,g(1)=﹣a>0,
∴g(x)在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)f′(x)在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
(Ⅱ)①當(dāng)a<0時(shí),f(x2)﹣f(x1)> ﹣2ax2 ﹣2ax1
= ﹣1)﹣a(x2+x1)(x2﹣x1
﹣1)﹣2ax1(x2﹣x1),
令h(x)=eax﹣ax﹣1,x>0,
∴h′(x)=aeax﹣a=a(eax﹣1)>0,
∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x>0時(shí),h(x)>h(0)=0,
即eax﹣1>ax,
﹣1>a(x2+x1),
∴f(x2)﹣f(x1)>a( ﹣2x1)(x2﹣x1),
②當(dāng)a>0,由(Ⅰ)可得g′(x)=a2eax1﹣2a,
令g′(x)=a2eax1﹣2a=0,解得x0= ln +1,
當(dāng)x變化時(shí),g′(x),g(x)變化情況列表如下:

x

(﹣∞,x0

x0

(x0 , +∞)

g′(x)

0

+

g(x)

遞減

極小值

遞增

∴g(x0)= ﹣2ax0=2(lna﹣a+1﹣ln2),
令m(x)=lnx﹣x+1﹣ln2,
∴m′(x)= ﹣1= ,
∴m(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x>0時(shí),m(x)<m(1)=﹣ln2<0,即g(x0)<0
又∵當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)>0,
∴在(﹣∞,x0)上g(x)存在一個(gè)零點(diǎn)x1 , 即f′(x1)=0,
∴當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)在區(qū)間(﹣∞,x0)變化情況列表如下:

x

(﹣∞,x1

x1

(x1 , x0

f′(x)

+

0

f(x)

遞增

極大值

遞減

∴f(x0)﹣f(x1)<0=af′(x1)(x2﹣x1)=a( ﹣2x1)(x2﹣x1),與結(jié)論矛盾,
綜上可知,a的取值范圍為(﹣∞,0)
【解析】(Ⅰ)先求導(dǎo),再判斷其導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理即可判斷,(Ⅱ)分a<0或a>0兩種情況討論,對(duì)于a<0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=eax﹣ax﹣1,x>0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值即可證明, 對(duì)于a>0,根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值的關(guān)系可得g(x0)=2(lna﹣a+1﹣ln2),再構(gòu)造函數(shù)m(x)=lnx﹣x+1﹣ln2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系可得當(dāng)x>0時(shí),m(x)<m(1)=﹣ln2<0,即g(x0)<0,再根據(jù)f′(x),f(x)在區(qū)間(﹣∞,x0)變化情況,得到與已知相矛盾,問題得以解決

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+ ),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)y=2f(x)+f′(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(
A.[ , ]
B.[﹣ ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ ]

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【題目】在區(qū)間[0,2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,則函數(shù)f(x)=x3+ax﹣b在區(qū)間[﹣1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣e(x+1)lna﹣ (a>0,且a≠1),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=e時(shí),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x∈[0,2]上的最大值
(2)若函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),求a的值.

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(Ⅱ)求BC的長(zhǎng).

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【題目】中國(guó)古代算書《孫子算經(jīng)》中有一著名的問題:今有物,不知其數(shù).三三數(shù)之剩二;五五數(shù)之剩三;七七數(shù)之剩二.問物幾何?后來,南宋數(shù)學(xué)家秦九昭在其《數(shù)書九章》中對(duì)此問題的解法做了系統(tǒng)的論述,并稱之為“大衍求一術(shù)”.如圖程序框圖的算法思路源于“大衍求一術(shù)”,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b的值分別為40,34,則輸出的c的值為(
A.7
B.9
C.20
D.22

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【題目】1)過點(diǎn)作直線使它被直線截得的線段被點(diǎn)平分,求直線的方程;

2)光線沿直線射入,遇直線后反射,求反射光線所在的直線方程.

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(1)求成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)及成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)平均成績(jī);

(2)從成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選3名學(xué)生,求至少有1名學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率.

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【題目】某小組6個(gè)人排隊(duì)照相留念.

(1)若分成兩排照相,前排2人,后排4人,有多少種不同的排法?

(2)若分成兩排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必須在前排,乙必須在后排,有多少種排法?

(3)若排成一排照相,甲、乙兩人必須在一起,有多少種不同的排法?

(4)若排成一排照相,其中甲必在乙的右邊,有多少種不同的排法?

(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相鄰有多少種排法?

(6)若排成一排照相,且甲不站排頭乙不站排尾,有多少種不同的排法?

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