【題目】設直線分別是函數(shù) 圖象上點處的切線，垂直相交于點，且分別與軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( )

A. (1,+∞) B. (0,2) C. (0,+∞) D. (0,1)

【答案】D

【解析】

設出點P1，P2的坐標，求出原分段函數(shù)的導函數(shù)，得到直線l1與l2的斜率，由兩直線垂直求得P1，P2的橫坐標的乘積為1，再分別寫出兩直線的點斜式方程，求得A，B兩點的縱坐標，得到|AB|，聯(lián)立兩直線方程求得P的橫坐標，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△PAB的面積的取值范圍．

解：設P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），

當0＜x＜1時，f′（x），當x＞1時，f′（x），

∴l1的斜率，l2的斜率，

∵l1與l2垂直，且x2＞x1＞0，

∴，即x1x2＝1．

直線l1：，l2：．

取x＝0分別得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），

|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．

聯(lián)立兩直線方程可得交點P的橫坐標為x，

∴|AB||xP|．

∵函數(shù)y＝x在（0，1）上為減函數(shù)，且0＜x1＜1，

∴，則，

∴．

∴△PAB的面積的取值范圍是（0，1）．

故選：D．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),函數(shù)．

⑴若的定義域為,求實數(shù)的取值范圍；

⑵當,求函數(shù)的最小值；

⑶是否存在實數(shù),使得函數(shù)的定義域為,值域為？若存在,求出的值；若不存在,則說明理由．

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【題目】已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x）．若，則 ( )

A.B.2C.0D.99

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【題目】已知點在橢圓上， 為橢圓的右焦點， 分別為橢圓的左，右兩個頂點.若過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，且線段的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與相交于點，證明： 三點共線.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若對任意的實數(shù)都有成立，求實數(shù)的值；

（2）若在區(qū)間上為單調增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，求函數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字，，，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某商店經營的某種消費品的進價為每件14元，月銷售量（百件）與每件的銷售價格（元）的關系如圖所示，每月各種開支2 000元．

（1）寫出月銷售量（百件）關于每件的銷售價格（元）的函數(shù)關系式．

（2）寫出月利潤（元）與每件的銷售價格（元）的函數(shù)關系式．

（3）當該消費品每件的銷售價格為多少元時，月利潤最大？并求出最大月利潤．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓經過點，其離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知是橢圓上一點，，為橢圓的焦點，且，求點到軸的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，分別為橢圓的左、右焦點．動直線過點，且與橢圓相交于，兩點（直線與軸不重合）．

（1）若點的坐標為，求點坐標；

（2）點，設直線，的斜率分別為，，求證：；

（3）求面積最大時的直線的方程．

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