【答案】
分析:(1)首先,由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(a
i,a
j)共有k
2個,已知0不屬于A,得到(a
i,a
i)不屬于T,當(dāng)(a
i,a
j)∈T時,(a
j,a
i)不屬于T,得到集合T中元素的個數(shù)最多為兩者之差.
(2)分兩種情況進行討論對于(a,b)∈S,和對于(a,b)∈T,根據(jù)所給的定義得到S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù),即m≤n,T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù),即n≤m,從而得到m=n.
解答:(1)證明:首先,由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(a
i,a
j)共有k
2個.
∵0不屬于A,
∴(a
i,a
i)不屬于T(i=1,2,,k);
又∵當(dāng)a∈A時,-a不屬于A時,-a不屬于A,
當(dāng)(a
i,a
j)∈T時,(a
j,a
i)不屬于T(i,j=1,2,,k).
從而,集合T中元素的個數(shù)最多為
,
即
.
(2)解:m=n,
證明如下:
(1)對于(a,b)∈S,根據(jù)定義,a∈A,b∈A,且a+b∈A,從而(a+b,b)∈T.
如果(a,b)與(c,d)是S的不同元素,
那么a=c與b=d中至少有一個不成立,從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立.
故(a+b,b)與(c+d,d)也是T的不同元素.
可見,S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù),即m≤n,
(2)對于(a,b)∈T,根據(jù)定義,a∈A,b∈A,且a-b∈A,從而(a-b,b)∈S.
如果(a,b)與(c,d)是T的不同元素,那么a=c與b=d中至少有一個不成立,
從而a-b=c-d與b=d中也不至少有一個不成立,
故(a-b,b)與(c-d,d)也是S的不同元素.
可見,T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù),即n≤m,
由(1)(2)可知,m=n.
點評:本題采用分類討論的方法和歸納總結(jié)的方法,歸納是一種重要的推理方法,由具體結(jié)論歸納概括出定義能使學(xué)生的感性認識升華到理性認識,培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的認知方法.