Question

3．設向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不共線，t∈R，
$（1）記\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow b，\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}），若A，B，C三點共線，求t的值$；$（2）若|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1，＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞=12{0^o}，則t為何值時，|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|最小$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的線性運算與共線定理，得出$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，λ∈R，列出方程即可求出t的值；
（2）平面平面向量的模長公式，結合二次函數(shù)的性質，即可求出t為何值時|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|的值最小．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不共線，t∈R，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=t$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$；
又A、B、C三點共線，則$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，λ∈R，
∴t$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=λ（-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=-\frac{2}{3}λ}\\{\frac{1}{3}λ=-1}\end{array}\right.$，
解得λ=-3，t=2；
（2）|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且夾角＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=120°，
∴${（\overrightarrow{a}-t\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4t²${\overrightarrow}^{2}$
=1-2tcos120°+4t²
=4t²+t+1
=4${（t+\frac{1}{8}）}^{2}$+$\frac{15}{16}$，
∴當t=-$\frac{1}{8}$時，|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|的值最小．

點評 本題考查兩個向量共線的性質以及向量模長公式的應用問題，是綜合性題目．