Question

已知每項均是正整數(shù)的數(shù)列A：a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中等于i的項有k_i個（i=1，2，3…），設(shè)b_j=k₁+k₂+…+k_j（j=1，2，3…），g（m）=b₁+b₂+…+b_m-nm（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列A：1，2，1，4，求g（1），g（2），g（3），g（4），g（5）；
（Ⅱ）若數(shù)列A滿足a₁+a₂+…+a_n-n=100，求函數(shù)g（m）的最小值．

Answer 1

分析：（I）因為數(shù)列k₁，k₂，k₃，k₄的值已知，所以b₁，b₂，b₃，b₄由公式b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…）求得，所以g（1），g（2），g（3），g（4）由公式g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）求得；
（II）由題意，g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m，g（m+1）=b₁+b₂+…b_m+b_m+1-100（m+1），作差比較，得g（m+1）-g（m）=b_m+1-100，由b_j的含義，知b_m+1≤100，故得g（m+1），g（m）的大小，又a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的項為50，知當(dāng)m≥50時b_m=100，所以，當(dāng)1＜m＜49時，有g(shù)（m）＞g（m+1）；當(dāng)m≥49時，有g(shù)（m）=g（m+1）；可設(shè){a₁，a₂，…a₁₀₀}中的最大值為M，則由（II）知，g（m）的最小值為g（M），計算出g（M）的值即為g（m）最小值．

解答：解：（1）根據(jù)題設(shè)中有關(guān)字母的定義，k₁=2，k₂=1，k₃=0，k₄=1，k_j=0（j=5，6，7）
b₁=2，b₂=2+1=3，b₃=2+1+0=3，b₄=4，b_m=4（m=5，6，7，）

g(1)=b1-4×1=-2 g(2)=b1+b2-4×2=-3， g(3)=b1+b2+b3-4×3=-4， g(4)=b1+b2+b3+b4-4×4=-4， g(5)=b1+b2+b3+b4+b5-4×5=-4.

（2）一方面，g（m+1）-g（m）=b_m+1-n，根據(jù)“數(shù)列A含有n項”及b_j的含義知b_m+1≤n，
故g（m+1）-g（m）≤0，
即g（m）≥g（m+1）①（7分）
另一方面，設(shè)整數(shù)M=maxa₁，a₂，，a_n，則當(dāng)m≥M時必有b_m=n，
所以g（1）≥g（2）≥≥g（M-1）=g（M）=g（M+1）=所以g（m）的最小值為g（M-1）．（9分）
下面計算g（M-1）的值：g（M-1）=b₁+b₂+b₃++b_M-1-n（M-1）
=（b₁-n）+（b₂-n）+（b₃-n）++（b_M-1-n）
=（-k₂-k₃--k_M）+（-k₃-k₄--k_M）+（-k₄-k₅--k_M）++（-k_M）
=-[k₂+2k₃++（M-1）k_M]
=-（k₁+2k₂+3k₃++Mk_M）+（k₁+k₂++k_M）
=-（a₁+a₂+a₃++a_n）+b_M
=-（a₁+a₂+a₃+..+a_n）+n（12分）
∵a₁+a₂+a₃++a_n-n=100，
∴g（M-1）=-100，
∴g（m）最小值為-100．（13分）

點評：本題以數(shù)列為載體，考查了不等式的運用技巧，本題考查了數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，弄清題目中所給的條件是什么，細心解答，這樣才不會出現(xiàn)錯誤．