Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

3

2

（a_n-1）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n=

3

2

（a_n-1），利用S₁=a₁，a_n=S_n-S_n-1，推導(dǎo)出{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a_n=3ⁿ，b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，推導(dǎo)出

1

bn

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

3

2

（a_n-1），
∴當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)
=

3

2

an-

3

2

an-1，
整理，得a_n=3a_n-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=3ⁿ，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=1+2+3+…+n
=

n(n-1)

2

，
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．